**(UPDATED, SEE AT BOTTOM OF PAGE)**Â With our recent accepted paper, we need to supply a French translation of the title (done), abstract (kinda, with help from DeepL) and the key words. This last one is where I would like any suggestions from francophone mathematicians.

Here’s the list of key words/phrases we need translations of: Whitney extension theorem, smooth functions on closed domain, Whitney jet, polynomial cusps, FrĂ©chet space, submersion, manifolds with corners, manifolds with rough boundary, manifold of mappings, exponential law.

Also, for amusement purposes, here’s the DeepL+Îµ translation of the abstract:

Cet article examine une version globale et non linĂ©aire du problĂ¨me de l’extension Whitney pour les fonctions lisses Ă valeur variĂ©tĂ© sur des domaines fermĂ©s , avec une frontiĂ¨re non lisse, dans des variĂ©tĂ©s Ă©ventuellement non compacts.

En supposant que est une sous-variĂ©tĂ© avec des sommets, ou est localement convexe avec une frontiĂ¨re rugueuse et compacte, nous prouvons que la carte de restriction des fonctions dĂ©finies partout est une submersion de multiples localement convexes et admet donc des clivages linĂ©aires locaux sur les cartes.

Pour ce faire, nous considĂ©rons la carte de restriction correspondante pour les espaces localement convexes de sections de faisceaux de vecteurs Ă support compact, nous autorisons le cas encore plus gĂ©nĂ©ral oĂą ne prĂ©sente que des restrictions lĂ©gĂ¨res sur les cuspides intĂ©rieures et extĂ©rieures, et nous prouvons l’existence d’un opĂ©rateur d’extension.

I have fixed a few things, like using variĂ©tĂ© for ‘manifold’, rather than the vernacular translation. I would be grateful for suggestions on how to improve it. The original English text is as follows

This article considers a global, nonlinear version of the Whitney extension problem for manifold-valued smooth functions on closed domains , with non-smooth boundary, in possibly non-compact manifolds.

Assuming is a submanifold with corners, or is locally convex with rough boundary and compact, we prove that the restriction map from everywhere-defined functions is a submersion of locally convex manifolds and so admits local linear splittings on charts.

This is achieved by considering the corresponding restriction map for locally convex spaces of compactly-supported sections of vector bundles, allowing the even more general case where only has mild restrictions on inward and outward cusps, and proving the existence of an extension operator.

I’ve had a bit of feedback from various people who know some French and who know how to Google for advice (though no actual French mathematiciansâ€”where are you all?), and here’s an **updated version**:

Nous considĂ©rons une version du problĂ¨me de lâ€™extension Whitney, globale et non linĂ©aire, pour les fonctions lisses Ă valeur de variĂ©tĂ©s et dĂ©finies sur des domaines fermĂ©s Ă bords non-lisses dans des variĂ©tĂ©s probablement non compactes.

Supposons que est une sous-variĂ©tĂ© Ă bord anguleux, ou elle est compacte et localement convexe Ă bords non-lisses, nous montrons que lâ€™application de restriction, Ă partir des fonctions dĂ©finies partout, est une submersion de variĂ©tĂ©s localement convexes, et donc permet des scindage linĂ©aires locaux sur les cartes.

Nous considĂ©rons Ă cet effet lâ€™application de restriction correspondante pour les espaces localement convexes de sections de fibrĂ©s vectoriels Ă support compactes, permettant aussi le cas plus gĂ©nĂ©ral oĂą nâ€™a que des restrictions lĂ©gĂ¨res sur les cuspides vers lâ€™intĂ©rieur et lâ€™extĂ©rieur, et montrons lâ€™existence dâ€™un opĂ©rateur de prolongement.

And here’s our list of key words:

thĂ©orĂ¨me de lâ€™extension de Whitney, fonctions lisses sur des domaines fermĂ©s, jet de Whitney, cuspides polynomiales, espace de FrĂ©chet, submersion, variĂ©tĂ©s Ă bord anguleux, variĂ©tĂ©s Ă bords non-lisses, variĂ©tĂ©s d’applications, loi de lâ€™exponentielle

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