(UPDATED, SEE AT BOTTOM OF PAGE)Â With our recent accepted paper, we need to supply a French translation of the title (done), abstract (kinda, with help from DeepL) and the key words. This last one is where I would like any suggestions from francophone mathematicians.
Here’s the list of key words/phrases we need translations of: Whitney extension theorem, smooth functions on closed domain, Whitney jet, polynomial cusps, FrĂ©chet space, submersion, manifolds with corners, manifolds with rough boundary, manifold of mappings, exponential law.
Also, for amusement purposes, here’s the DeepL+ε translation of the abstract:
Cet article examine une version globale et non linĂ©aire du problème de l’extension Whitney pour les fonctions lisses Ă valeur variĂ©tĂ© sur des domaines fermĂ©s
, avec une frontière non lisse, dans des variétés éventuellement non compacts.
En supposant que
est une sous-variété avec des sommets, ou est localement convexe avec une frontière rugueuse et compacte, nous prouvons que la carte de restriction des fonctions définies partout est une submersion de multiples localement convexes et admet donc des clivages linéaires locaux sur les cartes.
Pour ce faire, nous considérons la carte de restriction correspondante pour les espaces localement convexes de sections de faisceaux de vecteurs à support compact, nous autorisons le cas encore plus général où
ne prĂ©sente que des restrictions lĂ©gères sur les cuspides intĂ©rieures et extĂ©rieures, et nous prouvons l’existence d’un opĂ©rateur d’extension.
I have fixed a few things, like using variĂ©tĂ© for ‘manifold’, rather than the vernacular translation. I would be grateful for suggestions on how to improve it. The original English text is as follows
This article considers a global, nonlinear version of the Whitney extension problem for manifold-valued smooth functions on closed domains
, with non-smooth boundary, in possibly non-compact manifolds.
Assuming
is a submanifold with corners, or is locally convex with rough boundary and compact, we prove that the restriction map from everywhere-defined functions is a submersion of locally convex manifolds and so admits local linear splittings on charts.
This is achieved by considering the corresponding restriction map for locally convex spaces of compactly-supported sections of vector bundles, allowing the even more general case where
only has mild restrictions on inward and outward cusps, and proving the existence of an extension operator.
I’ve had a bit of feedback from various people who know some French and who know how to Google for advice (though no actual French mathematicians—where are you all?), and here’s an updated version:
Nous considérons une version du problème de l’extension Whitney, globale et non linéaire, pour les fonctions lisses à valeur de variétés et définies sur des domaines fermés
à bords non-lisses dans des variétés probablement non compactes.
Supposons que
est une sous-variété à bord anguleux, ou elle est compacte et localement convexe à bords non-lisses, nous montrons que l’application de restriction, à partir des fonctions définies partout, est une submersion de variétés localement convexes, et donc permet des scindage linéaires locaux sur les cartes.
Nous considérons à cet effet l’application de restriction correspondante pour les espaces localement convexes de sections de fibrés vectoriels à support compactes, permettant aussi le cas plus général où
n’a que des restrictions légères sur les cuspides vers l’intérieur et l’extérieur, et montrons l’existence d’un opérateur de prolongement.
And here’s our list of key words:
thĂ©orème de l’extension de Whitney, fonctions lisses sur des domaines fermĂ©s, jet de Whitney, cuspides polynomiales, espace de FrĂ©chet, submersion, variĂ©tĂ©s Ă bord anguleux, variĂ©tĂ©s Ă bords non-lisses, variĂ©tĂ©s d’applications, loi de l’exponentielle
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